tetta裡的方陣

  1. 拉丁方陣

    一個n階的拉丁方陣是把n個字母或數字放入一個n*n的方陣中,使得每一直行及每一橫列的字母或數字都不相同。因為都不相同的關係,所以每個字母或數字在方陣中各出現n次。以下是3階和4階的拉丁方陣。

    3階拉丁方陣
    A B C
    B C A
    C A B
    4階拉丁方陣
    1 3 2 4
    2 1 4 3
    3 4 1 2
    4 2 3 1

    tetta的規則2,即是把方格的一種圖案-方形或三角形,排成拉丁方陣,只是把字母或數字換成了顏色。另一種圖案則排成每行或每列同色。

  2. 希臘拉丁方陣

    一個n階希臘拉丁方陣是由二個n階的拉丁方陣組成的。新方陣中方格的字母或數字組合都不同。以下四個3及4階方陣各是由兩個拉丁方陣組成的。前二個是希臘拉丁方陣,後二個不是。

    3階希臘拉丁方陣
    A B C
    B C A
    C A B
    +
    1 2 3
    3 1 2
    2 3 1
    =
    A1 B2 C3
    B3 C1 A2
    C2 A3 B1
    4階希臘拉丁方陣
    A B C D
    B A D C
    C D A B
    D C B A
    +
    1 2 3 4
    3 4 1 2
    4 3 2 1
    2 1 4 3
    =
    A1 B2 C3 D4
    B3 A4 D1 C2
    C4 D3 A2 B1
    D2 C1 B4 A3
    3階非希臘拉丁方陣
    A B C
    B C A
    C A B
    +
    1 2 3
    2 3 1
    3 1 2
    =
    A1 B2 C3
    B2 C3 A1
    C3 A1 B2
    4階非希臘拉丁方陣
    A B C D
    B A D C
    C D A B
    D C B A
    +
    1 2 3 4
    2 3 4 1
    3 4 1 2
    4 1 2 3
    =
    A1 B2 C3 D4
    B2 A3 D4 C1
    C3 D4 A1 B2
    D4 C1 B2 A3

    tetta的規則3,則是把二種圖案-方形或三角形,排成一個希臘拉丁方陣。只是把字母和數字換成了顏色。

  3. tetta三種規則的方陣個數

    階數 n 全部排列 (n*n)! 規則1 行-列 2*n!*n! 規則2 行/列-拉丁 4*L(n,n)*(n-1)!*n!*n! 規則3 希臘拉丁
    3 (3*3)!=362880 2*3!*3!=72 4*1*(3-1)!*3!*3!=288 72
    4 (4*4)!=20922789888000 2*4!*4!=1152 4*4*(4-1)!*4!*4!=55296 6912
    5 (5*5)!=15511210043330985984000000 2*5!*5!=28800 4*56*(5-1)!*5!*5!=77414400 ?
    6 (6*6)!=3.7199332678990121746799944815084e+41 2*6!*6!=1036800 4*9408*(6-1)!*6!*6!=2341011456000 0(*1)
    7 (7*7)!=6.082818640342675608722521633213e+62 2*7!*7!=50803200 4*16942080*(7-1)!*7!*7!=1239425105264640000 ?
    8 (8*8)!=1.2688693218588416410343338933516e+89 2*8!*8!=3251404800 4*535281401856*(8-1)!*8!*8!=17543398515000899272704000 ?
    9 (9*9)!=5.7971260207473679858797342315781e+120 2*9!*9!=263363788800 4*377597570964258816*(9-1)!*9!*9!=8.019287291701653098790924582912e+33 ?
    10 (10*10)!=9.3326215443944152681699238856267e+157 2*10!*10!=26336378880000 4*7580721483160132811489280*(10-1)!*10!*10!=1.4489707909649391634606365995965e+44 ?
    11 (11*11)!=8.0942985252734437396816228454494e+200 2*11!*11!=3186701844480000 4*5363937773277371298119673540771840*(11-1)!*11!*11!=1.2405611922440525795323213799888e+56 ?
    12 (12*12)!=5.5502938327393047895510546605504e+249 2*12!*12!=458885065605120000 4*1.62e+44*(12-1)!*12!*12!=5.93e+69(*2) ?
    13 (13*13)!=4.2690680090047052749392518888996e+304 2*13!*13!=77551576087265280000 4*2.51e+56*(13-1)!*13!*13!=1.86e+85(*2) ?
    14 (14*14)!=5.0801221108670467625027357853474e+365 2*14!*14!=15200108913103994880000 4*2.33e+70*(14-1)!*14!*14!=4.41e+102(*2) ?
    15 (15*15)!=1.2593608545945996091036028947807e+433 2*15!*15!=3420024505448398848000000 4*1.5e+86*(15-1)!*15!*15!=8.9e+121(*2) ?
    16 (16*16)!=8.5781777534284265411908227168123e+506 2*16!*16!=875526273394790105088000000 ? ?

    附註:

    n! = 1*2*3*...*n

    1. 六階的希臘拉丁方陣並不存在。

    2. 估計值。

    ? 不是零,但是未知。

    一般來說,規則2的數目>規則3的數目>規則1的數目

  4. 拉丁方陣的樣式

    請觀察下列各3階拉丁方陣的變換。其中最左邊的e表示不變換,即原來的方陣;(123)表示1→2→3→1,即改變原來方陣的數字;(321)表示3→2→1→3;(12)表示1↔2;(31)表示3↔1;(23)表示2↔3。由於3階拉丁方陣有3個數字,故共有3!=6種排列;換句話說,如果將原來的拉丁方陣第一橫列固定成123,之後將3個數字重新排列對調,可以得到3!=6個不同的拉丁方陣。一般來說,1個n階拉丁方陣的樣式可以到n!個不同的拉丁方陣。

    3階拉丁方陣的變換
    e (123) (321) (12) (31) (23)
    1 2 3
    3 1 2
    2 3 1
    2 3 1
    1 2 3
    3 1 2
    3 1 2
    2 3 1
    1 2 3
    2 1 3
    3 2 1
    1 3 2
    3 2 1
    1 3 2
    2 1 3
    1 3 2
    2 1 3
    3 2 1

    以下2個方陣是3階拉丁方陣的樣式。第一橫列都是123;123表示第一直行是123;132表示第一直行是132。每個樣式代表了3!=6個不同的拉丁方陣,請自行按照上述的規則導出來。

    3階拉丁方陣的樣式
    123 132
    1 2 3
    2 3 1
    3 1 2
    1 2 3
    3 1 2
    2 3 1

    以下24個方陣是4階拉丁方陣的樣式。方陣的第一橫列都是1234;1234表示方陣的第一直行是1234,即最左邊原來的方陣;1243表示方陣的第一直行是1243,即將最左邊原來的方陣的第3和第4橫列對調;1324表示方陣的第一直行是1324,即將最左邊原來的方陣的第2和第3橫列對調;餘此類推。每行都有4個方陣,也就是雖然方陣的第一直行固定了,但是還是有4個不同的樣式。每個樣式代表了4!=24個不同的拉丁方陣,請自行按照上述的規則導出來。

    4階拉丁方陣的樣式
    1234 1243 1324 1342 1423 1432
    1 2 3 4
    2 1 4 3
    3 4 1 2
    4 3 2 1
    1 2 3 4
    2 1 4 3
    4 3 2 1
    3 4 1 2
    1 2 3 4
    3 4 1 2
    2 1 4 3
    4 3 2 1
    1 2 3 4
    3 4 1 2
    4 3 2 1
    2 1 4 3
    1 2 3 4
    4 3 2 1
    2 1 4 3
    3 4 1 2
    1 2 3 4
    4 3 2 1
    3 4 1 2
    2 1 4 3
    1 2 3 4
    2 1 4 3
    3 4 2 1
    4 3 1 2
    1 2 3 4
    2 1 4 3
    4 3 1 2
    3 4 2 1
    1 2 3 4
    3 4 2 1
    2 1 4 3
    4 3 1 2
    1 2 3 4
    3 4 2 1
    4 3 1 2
    2 1 4 3
    1 2 3 4
    4 3 1 2
    2 1 4 3
    3 4 2 1
    1 2 3 4
    4 3 1 2
    3 4 2 1
    2 1 4 3
    1 2 3 4
    2 4 1 3
    3 1 4 2
    4 3 2 1
    1 2 3 4
    2 4 1 3
    4 3 2 1
    3 1 4 2
    1 2 3 4
    3 1 4 2
    2 4 1 3
    4 3 2 1
    1 2 3 4
    3 1 4 2
    4 3 2 1
    2 4 1 3
    1 2 3 4
    4 3 2 1
    2 4 1 3
    3 1 4 2
    1 2 3 4
    4 3 2 1
    3 1 4 2
    2 4 1 3
    1 2 3 4
    2 3 4 1
    3 4 1 2
    4 1 2 3
    1 2 3 4
    2 3 4 1
    4 1 2 3
    3 4 1 2
    1 2 3 4
    3 4 1 2
    2 3 4 1
    4 1 2 3
    1 2 3 4
    3 4 1 2
    4 1 2 3
    2 3 4 1
    1 2 3 4
    4 1 2 3
    2 3 4 1
    3 4 1 2
    1 2 3 4
    4 1 2 3
    3 4 1 2
    2 3 4 1
  5. 希臘拉丁方陣的樣式

    請觀察下列各3階希臘拉丁方陣的變換。記號的意義見上一段。左上角是原來的方陣。每行的6個方陣中,下面的5個方陣是將最上面方陣的字母加以排列對調而成;每列的6個方陣中,右邊的5個方陣是將最左邊方陣的數字加以排列對調而成。由於3階希臘拉丁方陣有3個字母和數字,故共有3!*3!=36種排列;換句話說,如果將原來的希臘拉丁方陣第一橫列固定成A1 B2 C3,之後將3個字母和數字重新排列對調,可以得到3!*3!=36個不同的希臘拉丁方陣。一般來說,1個n階希臘拉丁方陣的樣式可以到n!*n!個不同的希臘拉丁方陣。

    3階希臘拉丁方陣的變換
    e (123) (321) (12) (31) (23)
    e
    A1 B2 C3
    B3 C1 A2
    C2 A3 B1
    A2 B3 C1
    B1 C2 A3
    C3 A1 B2
    A3 B1 C2
    B2 C3 A1
    C1 A2 B3
    A2 B1 C3
    B3 C2 A1
    C1 A3 B2
    A3 B2 C1
    B1 C3 A2
    C2 A1 B3
    A1 B3 C2
    B2 C1 A3
    C3 A2 B1
    (ABC)
    B1 C2 A3
    C3 A1 B2
    A2 B3 C1
    B2 C3 A1
    C1 A2 B3
    A3 B1 C2
    B3 C1 A2
    C2 A3 B1
    A1 B2 C3
    B2 C1 A3
    C3 A2 B1
    A1 B3 C2
    B3 C2 A1
    C1 A3 B2
    A2 B1 C3
    B1 C3 A2
    C2 A1 B3
    A3 B2 C1
    (CBA)
    C1 A2 B3
    A3 B1 C2
    B2 C3 A1
    C2 A3 B1
    A1 B2 C3
    B3 C1 A2
    C3 A1 B2
    A2 B3 C1
    B1 C2 A3
    C2 A1 B3
    A3 B2 C1
    B1 C3 A2
    C3 A2 B1
    A1 B3 C2
    B2 C1 A3
    C1 A3 B2
    A2 B1 C3
    B3 C2 A1
    (AB)
    B1 A2 C3
    A3 C1 B2
    C2 B3 A1
    B2 A3 C1
    A1 C2 B3
    C3 B1 A2
    B3 A1 C2
    A2 C3 B1
    C1 B2 A3
    B2 A1 C3
    A3 C2 B1
    C1 B3 A2
    B3 A2 C1
    A1 C3 B2
    C2 B1 A3
    B1 A3 C2
    A2 C1 B3
    C3 B2 A1
    (CA)
    C1 B2 A3
    B3 A1 C2
    A2 C3 B1
    C2 B3 A1
    B1 A2 C3
    A3 C1 B2
    C3 B1 A2
    B2 A3 C1
    A1 C2 B3
    C2 B1 A3
    B3 A2 C1
    A1 C3 B2
    C3 B2 A1
    B1 A3 C2
    A2 C1 B3
    C1 B3 A2
    B2 A1 C3
    A3 C2 B1
    (BC)
    A1 C2 B3
    C3 B1 A2
    B2 A3 C1
    A2 C3 B1
    C1 B2 A3
    B3 A1 C2
    A3 C1 B2
    C2 B3 A1
    B1 A2 C3
    A2 C1 B3
    C3 B2 A1
    B1 A3 C2
    A3 C2 B1
    C1 B3 A2
    B2 A1 C3
    A1 C3 B2
    C2 B1 A3
    B3 A2 C1

    以下2個方陣是3階希臘拉丁方陣的樣式。第一橫列都是A1 B2 C3;123表示第一直行是123;132表示第一直行是132。每個樣式代表了3!*3!=36個不同的拉丁方陣,請自行按照上述的規則導出來。

    3階希臘拉丁方陣的樣式
    123 132
    A1 B2 C3
    C2 A3 B1
    B3 C1 A2
    A1 B2 C3
    B3 C1 A2
    C2 A3 B1

    以下12個方陣是4階希臘拉丁方陣的樣式。方陣的第一橫列都是A1 B2 C3 D4;1234表示方陣的第一直行是1234,即最左邊原來的方陣;1243表示方陣的第一直行是1243,即將最左邊原來的方陣的第3和第4橫列對調;1324表示方陣的第一直行是1324,即將最左邊原來的方陣的第2和第3橫列對調;餘此類推。A1 B4 C2 D3表示方陣的第一直行都是由這4種組合構成的(可以排列對調);A1 B3 C4 D2表示方陣的第一直行都是由這4種組合構成的(可以排列對調)。每個樣式代表了4!*4!=576個不同的希臘拉丁方陣,請自行按照上述的規則導出來。

    4階希臘拉丁方陣的樣式
    1234 1243 1324 1342 1423 1432
    A1 B4 C2 D3
    A1 B2 C3 D4
    C2 D1 A4 B3
    D3 C4 B1 A2
    B4 A3 D2 C1
    A1 B2 C3 D4
    C2 D1 A4 B3
    B4 A3 D2 C1
    D3 C4 B1 A2
    A1 B2 C3 D4
    D3 C4 B1 A2
    C2 D1 A4 B3
    B4 A3 D2 C1
    A1 B2 C3 D4
    D3 C4 B1 A2
    B4 A3 D2 C1
    C2 D1 A4 B3
    A1 B2 C3 D4
    B4 A3 D2 C1
    C2 D1 A4 B3
    D3 C4 B1 A2
    A1 B2 C3 D4
    B4 A3 D2 C1
    D3 C4 B1 A2
    C2 D1 A4 B3
    A1 B3 C4 D2
    A1 B2 C3 D4
    D2 C1 B4 A3
    B3 A4 D1 C2
    C4 D3 A2 B1
    A1 B2 C3 D4
    D2 C1 B4 A3
    C4 D3 A2 B1
    B3 A4 D1 C2
    A1 B2 C3 D4
    B3 A4 D1 C2
    D2 C1 B4 A3
    C4 D3 A2 B1
    A1 B2 C3 D4
    B3 A4 D1 C2
    C4 D3 A2 B1
    D2 C1 B4 A3
    A1 B2 C3 D4
    C4 D3 A2 B1
    D2 C1 B4 A3
    B3 A4 D1 C2
    A1 B2 C3 D4
    C4 D3 A2 B1
    B3 A4 D1 C2
    D2 C1 B4 A3

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